MATEMATIKA PEMINATAN: LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

A. PERNYATAAN (KALIMAT TERTUTUP DAN KALIMAT TERBUKA)

1. Pernyataan

Pernyataan atau kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tidak sekaligus bernilai benar dan salah. Suatu pernyataan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, seperti p, q, r, s, dan sebagainya

Contoh Pernyataan:

a. Sembilan adalah bilangan ganjil

pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu pernyataan bernilai benar

b. 1 + 1 = 11

pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu pernyataan bernilai salah

c. Ibukota Indonesia adalah Yogyakarta

pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu pernyataan bernilai salah

Contoh Bukan Pernyataan:

a. Jarak antara jakarta dan tangerang adalah dekat

Bukan pernyataan, karena dekat bernilai relatif sehingga pernyataan tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya

b. Ani adalah gadis yang cantik

Bukan pernyataan, karena cantik bernilai relatif sehingga pernyataan tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya

c. x + 5 = 15

Bukan pernyataan, karena nilai x belum diketahui, sehingga pernyataan tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya

2. Nilai Kebenaran Dari Suatu Pernyataan

Nilai Benar atau Nilai Salah dari suatu pernyataan disebut Nilai Kebenaran.

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf Yunani, yaitu:

(dibaca tau) yang berasal dari bahasa asing truth berarti kebenaran.

Suatu pernyataan yang benar memiliki nilai B (benar), sedangkan suatu pernyataan yang salah memiliki nilai kebanaran S (salah).

3. Ingkaran (Negasi) Dari Suatu Pernyataan

Ingkaran (Negasi) dari suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari pernyataan semula sedemikian sehingga jika pernyataan semula bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah, dan jika pernyataan semula bernilai salah, maka ingkarannya bernilai benar. Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan dengan ~p

Contoh:

a. p : 3 lebih dari 1

~p : tidak benar 3 lebih dari 1

b. p : pada siswa SMU 1 yang mengikuti olimpiade matematika

~p : tidak ada siswa SMU 1 yang mengikuti olimpiade matematika

~p : semua siswa SMU 1 tidak mengikuti olimpiade matematika

c. p : semua orang beragama

~p : tidak semua orang beragama

~p : ada orang yang tidak beragama

4. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarnnya (benar atau salah) karena mengandung variabel.

Seuatu kalimat terbuka dengan variabel x dilambangkan oleh p(x), q(x), r(x), dan sebagainya.

B. Pernyataan Berkuantor

Kuantor artinya pengukur kuantitas atau jumlah, sehingga pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang memuat ukuran kuantitas atau jumlah, seperti kata semua, seluruh, setiap, tanpa kecuali, ada, beberapa, dan sebagainya.

Kuantor dibagi menjadi dua bagian, yaitu kuantor universal, dan kuantor eksistensial.

Kuantor Universal

Contohnya semua, untuk setiap, untuk tiap-tiap, seluruh, atau tanpa kecuali.

Kuantor eksistensial

contohnya ada, beberapa, terdapat, atau sekurang-kurangnya satu.

Contoh Ingkaran pernyataan berkuantor:

1. p : semua orang asing berkulit putih

~p : tidak benar bahwa semua orang asing berkulit putih

~p : ada orang asing yang tidak berkulit putih

~p : beberapa orang asing tidak berkulit putih

2. p : ada laki-laki yang tidak berkumis

~p : tidak benar bahwa ada laki-laki yang tidak berkumis

~p : semua laki-laki berkumis

C. Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen, dan Ingkarannya

Pernyataan majemuk adalah sautu pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal dengan menggunakan kata penghubung logika, seperti: dan, atau, sehingga, jika.... maka...., .... jika dan hanya jika...., meskipun, tetapi.

1. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “dan”,

2. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “atau”.

3. Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyatan tunggal dengan menggunakan kata hubung “Jika .... Maka....”.

4. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyatan tunggal dengan menggunakan kata hubung “Jika dan hanya jika”.

5. Tautologi dan kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi disebut implikasi logis.

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennnya